Dāvids Hilberts ap 1920. gadu radīja Bezgalīgās viesnīcas paradoksu, lai parādītu, cik grūti mums patiesībā ir saprast bezgalības ideju.
Iztēlojies viesnīcu - ar bezgalīgu skaitu numuriņu un bezgalīgu skaitu stāvu. Te jau uzreiz pirmās grūtības - tādu ir grūti iztēloties. Iztēlojies viesnīcai, saprotams, arī darbinieku, kas izdod numuriņu atslēgas.
Iztēlojies, ka šajā viesnīcā ir visi numuriņi aizņemti. Visi, visi, viesnīcā ir apmetušies bezgalīgs skaits viesu. Tagad iztēlojies, ka kāds cits vēlas dabūt savu numuriņu šai viesnīcā. Darbinieks visu dara vienkārši: liek tam, kurš apmeties 1. numuriņā, pārcelties uz 2. numuriņu, tam, kas dzīvo 2. numuriņā, pārcelties uz 3. numuriņu, un tā tālāk. Katrs pārvietojas no istabas n uz n+1. Tādējādi atbrīvojas istabiņa, un viss ir kārtībā.
Tad iztēlojies, ka piestāj autobuss ar 40 cilvēkiem, katrs grib savu numuriņu. Ko darīt? Vienkārši. Katrs pārvietojas no numuriņa n uz n+40. Tā kā viesnīca ir bezgalīga, tur mūžīgi var dabūt numuriņus.
Tagad iztēlojies, ka pie viesnīcas piestāj bezgalīgs autobuss ar bezgalīgu skaitu cilvēku, un katrs grib sev numuriņu. Tāpēc viņš prasa, lai 1. numuriņa īpašnieks pārvācas uz 2. numuriņu, tas, kas apmeties 2. numuriņā - uz 4. numuriņu, lai tas, kurš dzīvo 3. numuriņā, pārvācas uz 6. numuriņu. Katrs pārvācas no telpas n uz 2n.
Tādējādi tie, kas iepriekš bija apmetušies šai viesnīcā, ir tikai tajos numuriņos, kuru numurs ir pāra skaitlis, bet nepāra skaitļu numuriņos (1, 3, 5, 7) ievācas jaunie iemītnieki, un viesnīcas darbinieki pelna tik daudz, cik vēl nekad agrāk... kaut gan, viņi vislaik ievāc bezgalīgu daudzumu naudas.
Tad darbinieks ierauga bezgalīgu virkni ar bezgalīgiem autobusiem. Ak nē! Ko tagad? Viņš lūdz, piemēram, 7. numuriņa iemītnieku pārvākties uz 7. numuriņu 2 pakāpē, kas ir 128. numuriņš. Tad darbinieks pieraksta pirmo autobusu, un katram iedod numuriņu, kas ir pēc kārtas skaitlis, kas arvien pieaug ar katru autobusu, un kāpina par viņa autobusa sēdekļa numuru.
Piemēram, pēc rindas, Kārlis ir trešajā autobusā, ko piereģistrē, un viņa sēdekļa numurs ir 7. Tātad viņš dabū numuru 3 septītajā pakāpē, kas ir 2187. numuriņš.
Taču šīs lietas ir iespējamas tikai ar naturālo skaitļu numuriem. Ja mēs gribam numuriņus ar VISIEM skaitļiem, tad te būtu arī negatīvās telpas pagrabā (-1, -2, -3), būtu arī π numuriņš, būtu arī 0, 0.1, 0.2, un tā tālāk.
Taču ar tādiem skaitļiem šī viesnīca vairs nedarbotos.
